「寺・院」は、そのお寺の特徴を表しています。
寺院の名前は、詳しくは○○山○○院○○寺となり、山号・院号・寺号といいます。
浄土宗総本山の知恩院は「華頂山知恩院大谷寺」、浅草寺の正式名は「金龍山伝法院浅草寺」 といいます。
しかし、これでは長すぎて呼びつらく、一部を取って通称名にしたと言われています。
寺と院でどちらの格が上というわけでもなければ、中身が違うというわけでもありません。
普通は寺と呼ぶ場合が多いのになぜ院と称するかというと、寺号より院号のほうがその寺の特徴をよく表していた。天皇家・摂関家と関係が深い寺院に院号で呼ぶ場合が多い。などが考えられます。
ちなみに、お寺の名前の最初に「○○山」とつくのは、その昔たいていのお寺は山の中に 建てられたので、その所在地を示すためにつけられた呼称で、平地に建てられるようにな ってからもそれが続いているからです。
お寺の正面の門の事を「山門」というのも、ここから来ています。